奇异向量和特征向量的符号和 JAX 不同

主线位置：TRG 主线「一步 SVD 截断加收缩」：拿 JAX 的分解结果当参考值，逐步核对 tenferro。

版本：JAX 0.12.0.1（CPU，x64）、tenferro-rs 0.8.0（CPU，native，单线程）

flowchart TB
  ref["JAX 的 U 当参考"] --> cmp["逐元素比较"]
  cmp --> fail["差 1.25"]
  fail --> why["每列只定到符号"]
  why --> inv["比 U S Vt 或投影"]
  why --> canon["两边规范符号"]
  inv --> ok["差 1e-15"]
  canon --> ok

实验代码：tenferro 一侧是 bin p24_signs（release，CpuEngine::serial()，把分解结果写成文件），JAX 一侧是 p24_signs.py（读进来比较）。M2 Max、macOS 27、rustc 1.99.0。

现象

6×4 矩阵 A[i, j] = sin(1 + 0.7i² + 2.3j + 0.5ij²) 做薄 SVD，B + Bᵀ（B 是同一公式的 5×5）做 eigh。tenferro 一侧就是：

let (u, s, vt) = a.svd()?;
let (w, v) = sym.eigh()?;

拿 JAX 的结果当参考值逐元素比较：

u, s, vh = jnp.linalg.svd(a, full_matrices=False)
np.allclose(u, tu)

svd  s: max|jax - tenferro| = 1.776e-15
svd  U: max|jax - tenferro| = 1.253e+00  np.allclose: False
svd  U column signs (jax . tenferro): [1, 1, -1, 1]
eigh w: max|jax - tenferro| = 1.776e-15
eigh V: max|jax - tenferro| = 1.580e+00  column signs: [-1, -1, -1, -1, -1]

奇异值、特征值对得上（1.8e-15）；U 的第 3 列、V 的全部 5 列方向相反。

出处

奇异向量和特征向量只确定到一个符号（复数时是一个相位）：u → −u、v → −v 同时翻，U S Vᵀ 不变；特征向量单独翻也还是特征向量。选哪个符号由后端算法的细节决定，JAX 的 CPU 后端用 LAPACK，tenferro 用 faer，各有各的选法。tenferro 默认 SvdGauge::Raw，文档写的是「Leave the backend's raw singular vector signs or phases unchanged」。QR 两边的 diag(R) 符号恰好相同。这对梯度的影响（损失要和符号无关）和 SvdGauge 的来历见 分解的梯度。

修法

和 JAX 比较时，比和符号无关的量：

np.abs(u * s @ vh - tu * ts @ tvt).max()   # 重构 U S Vt
np.abs(u @ u.T - tu @ tu.T).max()          # 投影 U Ut

svd  U diag(s) Vt: max|jax - tenferro| = 1.554e-15
svd  U U^T:        max|jax - tenferro| = 4.857e-16

一定要比向量本身时（比如存下来的参考值），两边按同一个规则规范符号。tenferro 有选项 CanonicalPivot：每列绝对值最大的元素变成正数，SVD 把同一个符号乘到 Vᵀ 的对应行上；JAX 一侧手工做同样的事：

let (uc, _, vtc) = a.svd_with_options(SvdOptions::default().gauge(SvdGauge::CanonicalPivot))?;
let (_, vc) = sym.eigh_with_options(EighOptions::default().gauge(EighGauge::CanonicalPivot))?;

piv = np.sign(x[np.argmax(np.abs(x), axis=0), range(x.shape[1])])   # 每列主元的符号
u * piv, vh * piv[:, None]

svd  CanonicalPivot U vs JAX U * pivot sign: 4.441e-16  Vt: 6.661e-16
eigh CanonicalPivot V vs JAX V * pivot sign: 3.469e-16

规范之后差 1e-16 量级。主元规则在两个元素绝对值几乎相等时自身不稳定，那种矩阵上只能比和符号无关的量。

怎么确认没中招

• 测试里凡是对 U、V、特征向量逐元素断言的，先问一句：这个量翻了号还对不对？翻号还对，就改成比投影或重构。
• TRG 里一个奇异向量反号，下一步的张量 T 在对应的那个下标值上整片反号；最后的迹 T[x, y, x, y] 里每个下标出现两次，符号成对抵消，lnZ 和梯度不受影响。逐步打印中间张量去和 JAX 对照时，要先规范符号或只比范数。

小结

• LAPACK 和 faer 选的奇异向量、特征向量符号不同；tenferro 默认不规范。本例 SVD 一列、eigh 五列反号。
• 比较时用 U S Vᵀ、U Uᵀ 这类和符号无关的量，差 1e-15 量级。
• 要比向量本身，tenferro 用 CanonicalPivot，JAX 一侧手工把每列主元变成正数。